La maison des Seven occupe au sol un heptagone convexe de soixante-dix mètres de périmètre dont les côtés successifs ont respectivement des mesures qui, exprimées en mètres, sont sept entiers consécutifs ; de plus, les sommets de cet heptagone sont cocycliques...
N.B. : pour les questions 5 et 6, on négligera l'épaisseur des murs et on donnera des valeurs entières approchées au plus près.
Soit a le quatrième côté de l'heptagone ; les sept côtés ont pour mesures, du plus petit au plus grand :
a - 3 ; a - 2 ; a - 1 ; a ; a + 1 ; a + 2 ; a + 3
le périmètre de ce polygone à sept côtés est donc :
P = a - 3 + a - 2 + a - 1 + a + a + 1 + a + 2 + a + 3 = 7a
On a donc a = 10 puisque P = 70 ; ainsi, les côtés successifs mesurent (en mètres) 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , et 13.
Notons x le diamètre du cercle circonscrit à l'heptagone.
Les angles au centre qui sous-tendent les sept côtés sont respectivement doubles d'angles dont les sinus respectifs sont : 7/x , 8/x , 9/x , 10/x , 11/x , 12/x , et 13/x.
Les sept angles au centre sont alors : 2arcsin(7/x) , 2arcsin(8/x) , 2arcsin(9/x) , 2arcsin(10/x) , 2arcsin(11/x) , 2arcsin(12/x) , et 2arcsin(13/x).
La somme des sept angles précédents doit égaler 2pi (ou 360°) ; une calculette ou un tableur donne x = 23.15508090482 (en mètres).
L'aire de l'heptagone peut alors se calculer comme somme des aires de sept triangles, soit :
[cotan(35.192735129/2)*7*7 + cotan(40.424216936/2)*8*8 + cotan(45.745226739/2)*9*9 + cotan(51.172670854/2)*10*10 + cotan(56.726216807/2)*11*11 + cotan(62.429177679/2)*12*12 + cotan(68.309755857/2)*13*13]/4
= 38.6253890059 + 43.4583833896 + 48.0024605544 + 52.2109765584 + 56.0324071279 + 59.4089214292 + 62.2744246354
= 360.0129627008 m² = 36 001.29627008 dm²
réponse : 36 001.
Le plus grand angle au centre qui sous-tend une diagonale vaut :
35.192735129 + 40.424216936 + 45.745226739 + 51.172670854 = 172.535 degrés environ.
cette plus grande diagonale mesure donc x.sin(172.535/2) = 0.9978789 x avec x = 23.1550809
soit 23.10596 mètres, un tout petit peu moins que le diamètre
ou encore 231.0596 dm
réponse : 231.
octobre 2001 ?
Q.I. a accordé un délai supplémentaire aux éventuels participants ; une trentaine de réponses lui sont finalement parvenues dont une douzaine de très bonnes, dont les auteurs ont été récompensés. Cette question subsidiaire n'a pas été nécessaire pour départager des ex aequo !
Noms des Gagnants
Cet énoncé fut diffusé également sur papier durant la Fête de la Science.
(questions 1 et 2 = première époque ; questions 3 et 4 = deuxième époque ; questions 5, 6 et 7 = troisième époque)
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Retour vers la deuxième époque
Parrains de Q.I. :