Trouver le numéro de la semaine à laquelle appartient un jour donné n’est pas toujours simple ; d’ailleurs, d’un calendrier à l’autre, il arrive que la numérotation ne soit pas effectuée de la même façon.
(Cet article a été écrit pour répondre à une question posée par un cyberlecteur à l’auteur des divers articles et tableaux proposés sur ce site.)
Nous adopterons la règle suivante :
Si la première semaine de l’année est incomplète (c’est le cas six fois sur sept ; quand le premier janvier n’est pas un lundi), elle est numérotée 1 dès lors qu’elle a au moins quatre jours, 0 sinon.
Ainsi, le premier lundi de l’année appartient à la semaine 2 lorsque l’année commence un mardi, un mercredi, ou un jeudi ; il appartient à la semaine 1 lorsque le premier janvier est un vendredi, un samedi, un dimanche… ou un lundi.
Une date se présente sous la forme Q / k / m où
Q est le quantième (numéro du jour dans le mois),
k le numéro du mois (1 pour janvier, 2 pour février, 3 pour mars… 12 pour décembre),
m est le millésime de l’année (1998 ou 2027 par exemple).
On note : la division à résultat entier par défaut ;
par exemple, 13 : 2 = 6 ;
125 : 5 = 25 ;
34 : 7 = 4.
On désigne par x [mod y] le reste de la division de x par y (on dit x modulo y) ;
par exemple, 13 [mod 2] = 1 ;
125 [mod 5] = 0 ;
34 [mod 7] = 6.
On pose S = m : 100 ; c’est la partie entière de m divisé par 100.
A = m - 100 S ; c’est le reste de la division de m par 100.
On a aussi A = m [mod 100]
Pour une année postérieure à 1582, la formule
J = ( 5 S + S : 4 + A + A : 4 ) [mod 7]
pour toute année non bissextile,
et
J = ( 5 S + S : 4 + A + A : 4 + 6 ) [mod 7]
pour toute année bissextile
associée au tableau ci-dessous permet d’identifier le premier janvier.
| J | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| jour | dimanche | lundi | mardi | mercredi | jeudi | vendredi | samedi |
exemples :
On a ici S = 19 et A = 99
il vient 5 S = 95 ; S : 4 = 4 ; A = 99 ; A : 4 = 24
d’où J = ( 95 + 4 + 99 + 24 ) [mod 7]
= 222 [mod 7]
= 5
Ainsi, le 1er janvier est un vendredi et la première semaine de janvier n’a que trois jours ; elle porte le numéro 0 et la semaine 1 commence le lundi 4 janvier 1999.
On a ici S = 20 et A = 36
il vient 5 S = 100 ; S : 4 = 5 ; A = 36 ; A : 4 = 9
d’où J = ( 100 + 5 + 36 + 9 + 6 ) [mod 7]
= 156 [mod 7]
= 2
Ainsi, le 1er janvier est un mardi et la première semaine de janvier a six jours ; elle porte le numéro 1 et la semaine 2 commence le lundi 7 janvier 2036.
On remarquera que 2036 étant une année bissextile, c’est la seconde expression de J qui a été utilisée.
Considérons la date Q / k / m
Si k = 1, N = Q ; il s’agit du Qème jour de l’année.
Si k = 2, N = 31 + Q ; il s’agit du ( 31 + Q )ème jour de l’année.
Si k > 2, la formule
N = Q + Ent ( 30,6 k - 32,3 )
pour une année non bissextile
et
N = Q + Ent ( 30,6 k - 32,3 ) + 1
pour une année bissextile
donne le numéro du jour dans l’année.
Dans cette formule, Ent (x) donne la partie entière du nombre x. (par exemple Ent(181,9) = 181).
exemples :
On a ici N = 15 + Ent (30,6 . 6 - 32,3)
= 15 + Ent (151,3)
= 15 + 151 d’où N = 166
Ainsi, le 15 juin 1999 est le 166ème jour de l’année.
On a ici N = 7 + Ent (30,6 . 10 - 32,3) + 1
= 7 + Ent (273,7) + 1
= 7 + 273 + 1 d’où N = 281
Ainsi, le 7 octobre 2036 est le 281ème jour de l’année.
Il faut remarquer que 2036 étant bissextile, c’est la seconde expression de la formule donnant N qui a été utilisée dans ce second exemple.
Il y a entre le 1er janvier et le Nème jour de la même année une différence de N-1 jours ; ainsi, la formule
D = ( J + N - 1 ) [mod 7]
permet, avec la même grille de décodage qu’au paragraphe 3, d’identifier une date.
Nous redonnons cette grille ci-dessous :
| J | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| jour | dimanche | lundi | mardi | mercredi | jeudi | vendredi | samedi |
Les exemples précédents vont nous permettre d’illustrer l’utilisation de cette nouvelle formule.
exemples :
On a vu que N = 166
et que J = 5
Ainsi, on a D = ( 5 + 166 - 1 ) [mod 7]
= 170 [mod 7]
= 2
C’est donc un mardi
On a vu que N = 281
et que J = 2
Ainsi, on a D = ( 2 + 281 - 1 ) [mod 7]
= 282 [mod 7]
= 2
C’est donc aussi un mardi
D = J + N - 1 est le nombre de jours qui se sont écoulés depuis le dimanche 1er janvier (une fois sur sept) ou depuis le dernier dimanche de l’année m - 1.
Donc D - 1 = J + N - 2 est le nombre de jours depuis le lundi 2 janvier, ou depuis le lundi 1er janvier, ou depuis le dernier lundi de décembre de l’année m - 1.
Compte tenu du postulat énoncé au premier paragraphe, on en déduit que le numéro W de la semaine à laquelle appartient la date Q / k / m est donné par la formule :
W = ( J + N + 5 ) : 7
dans les cas J = 0 ; J = 1 ; J = 2 ; J = 3 ; J = 4
et
W = ( J + N + 5 ) : 7 - 1
dans les cas J = 5 ; J = 6
Soit, en définitive, si l’on souhaite une formule plus compacte :
W = ( J + N + 5 ) : 7 - ( J : 5 )
dans tous les cas.
Remarque :
On peut trouver W = 0 dans le cas du ou des premiers jours de l’année lorsque la première semaine (incomplète) de janvier a 1, 2, ou 3 jours ; ces quelques jours appartiennent alors a la dernière semaine, numérotée 52 ou 53, de l’année précédente.
De même, le 29 / 12 / m -si c’est un lundi- , le 30 / 12 / m -si c’est un lundi ou un mardi- , le 31 / 12 / m -si c’est un lundi, un mardi ou un mercredi- appartienent à la semaine 1 de l’année m + 1.
exemples :
On a vu que N = 166
et que J = 5
Ainsi, on a W = ( 5 + 166 + 5 ) : 7 - ( J : 5 )
= ( 176 : 7 ) - ( 5 : 5 )
= 25 - 1
= 24
C’est donc la semaine n° 24.
On a vu que N = 281
et que J = 2
Ainsi, on a W = ( 2 + 281 + 5 ) : 7 - ( J : 5 )
= ( 288 : 7 ) - ( 2 : 5 )
= 41 - 0
= 41
C’est donc la semaine n° 41.