mardi 19, 8h15 : l’auteur consulte son courrier électronique du jour ; un message publicitaire vantant les mérites d’une petite pilule bleue et deux messages inintéressants filent à la poubelle ; deux solutions de casse-tête, l’une bonne et l’autre fausse sont classées en vue d’une réponse future ; trois missives à caractère professionnel sont rapidement lues et archivées… Enfin, un problème de robinets expédié par Richard Chaby, Directeur de Recherche, équipe Endotoxine, UMR 8619 du CNRS, Université de Paris-Sud Orsay, attire son attention.
Comme pour beaucoup de gens de sa génération, ce sujet évoque pour l’auteur des souvenirs de jeunesse associés au répertoire de Jacques Beaudoin : le robinet qui perd, le bassin qui fuit… et il y a des jours où ça s’évapore !
Malgré son titre sympathique, ce message contient un vrai problème :
Un récipient contient initialement (au temps t=0) un volume V(0) d’une solution à concentration C(0) d’alcool dans l’eau. Une pompe introduit dans ce récipient de l’alcool pur, avec un débit d’entrée E. Simultanément, une autre pompe prélève la solution du récipient, avec un débit de sortie S. Quelle est, en fonction du temps t (et des 4 paramètres V(0), C(0), S et E), le pourcentage d’alcool dans le récipient ?
mardi 19, 13h15 : entre ses cours du matin et ceux de l’après-midi, l’auteur commence à répondre :
on a V(0) = C(0) V(0) + (1-C(0)) V(0) où C(0) V(0) est le volume d’alcool pur à l’instant t=0.
pendant le temps dt, on introduit une quantité E dt d’alcool pur ;
d’où un nouveau volume Va(dt) = C(0) V(0) + (1-C(0)) V(0) + E dt.
pendant le même temps dt, on ôte S dt du récipient.
le nouveau volume est V(dt) = C(0) V(0) + (1-C(0)) V(0) + E dt - S dt.
où C(0) V(0) + E dt représente de l’alcool pur,
(1-C(0)) V(0) représente de l’eau,
et S dt …
mince alors se dit l’auteur qui ne pensait pas tomber sur un os ! Et il termine son message par :
et S dt pose un problème car c’est un mélange évolutif.
Je n ’ai pas le temps actuellement de me plonger dans les équations différentielles … désolé…
mardi 19, 18h45 : avant de quitter son bureau, l’auteur consulte une dernière fois sa boîte à lettres électronique ; un message de Richard Chaby est arrivé :
J’ai eu un instant l’espoir que vous aviez déjà trouvé la solution ; je serais vraiment ravi si vous y parveniez.
mardi 19, le soir, tard : l’auteur se souvient avoir enseigné les équations différentielles à ses étudiants de DEUG AES quelques années auparavant ; il ne peut pas renoncer sans avoir cherché un minimum…
mercredi 20 au matin, tôt : à peine sorti du lit, l’auteur, devant un bol de café, prend une feuille de papier, un stylo, et trouve l’équation différentielle liée au problème ; très vite, il obtient la solution dans le cas S = E ; il sait qu’il trouvera la solution générale…
ensuite : suit un échange de fax et de courriers électroniques entre l’auteur et le Dr Chaby ; échelonnés sur une huitaine de jours, ils permettront d’apporter une solution finale vérifiée par simulations à ce petit problème. C’est elle qui est exposée ci-dessous.
Il est fréquent que certains phénomènes une fois modélisés se traduisent par une relation entre une fonction et ses dérivées : ce type de relation est une équation différentielle, et l’inconnue est la fonction.
Si seule la dérivée première est en cause, on se trouve en présence d’une équation différentielle du premier ordre.
Les équations différentielles linéaires du premier ordre sont de la forme
(1) f’ + a.f = b
où a et b sont des fonctions continues sur un intervalle de l’ensemble des nombres réels.
Résoudre l’équation (1) consiste à trouver toutes les fonctions f (dérivables -et donc continues- sur le même intervalle) qui la vérifient. Ces fonctions forment ce que l’on appelle la solution générale de l’équation.
Si, en plus de l’équation (1) , on dispose de conditions particulières ou initiales qui doivent être vérifiées par f, on retient celle(s) des solutions qui vérifie(nt) ces conditions.
Soit l’équation différentielle
(1) f’ + a.f = b (équation avec second membre)
On considère aussi l’équation
(2) f’ + a.f = 0 (équation sans second membre)
Supposons que g et h vérifient (1) ; on a
g’ + a.g = b et h’ + a.h = b
et, par soustraction,
(g - h)’ + a.(g - h) = 0
donc g - h vérifie (2).
Soit maintenant f0 une solution particulière de l’équation (1)
et j une solution de l’équation (2)
On a
j’ + a.j = 0 et f0’ + a.f0 = b
et, par addition,
(j + f0)’ + a.(j + f0) = b
Ainsi,
La solution générale de (1) est la somme d’une solution particulière de (1) et de la solution générale de (2).
Un récipient contient initialement (au temps t=0) un volume V(0) d’une solution à 100.C(0) % d’alcool dans l’eau (pour 28%, C(0) = 0,28 par exemple). Une pompe introduit dans ce récipient de l’alcool pur, avec un débit d’entrée E. Simultanément, une autre pompe prélève la solution du récipient, avec un débit de sortie S. Quelle est, en fonction du temps t (et des 4 paramètres V(0), C(0), S et E), le pourcentage d’alcool dans le récipient ?
Au temps t, le récipient contient un volume V(t) avec une concentration C(t) d’alcool ;
on a ainsi un volume d’alcool pur égal à C(t).V(t)
et un volume d’eau égal à (1-C(t)).V(t)
Pendant un temps très court dt, il entre dans le récipient un volume E.dt d’alcool pur ;
et il sort du récipient une quantité S.dt de mélange à la concentration C(t) [approximation cohérente pour un temps très court] ; cela signifie que S.dt est assimilé à la somme d’un volume S.C(t).dt d’alcool pur et d’un volume S.(1-C(t)).dt d’eau.
Au temps t+dt, le récipient contient donc un volume total égal à V(t)+(E-S).dt, dont un volume d’alcool pur égal à C(t).(V(t)-S.dt)+E.dt.
d’où la concentration d’alcool pur au temps t+dt :
C(t+dt) = [C(t).(V(t)-S.dt)+E.dt.] / [V(t)+(E-S).dt]
on en déduit que :
C(t+dt) - C(t) = [(1-C(t)).E.dt] / [ V(t)+(E-S).dt]
d’où la dérivée de C :
C’(t) = (1-C(t)).E / V(t)
(la dérivée en t de C est la limite pour dt tendant vers 0 du quotient de C(t+dt) - C(t) par dt.)
mais, puisque V(t) = V(0) + (E-S).t , on obtient :
C’ = (1-C).E / [V(0) + (E-S).t]
ou encore
C’ + (E / [V(0) + (E-S).t]).C = E / [V(0) + (E-S).t]
Nous venons de mettre en évidence l’équation différentielle dont la fonction (du temps t) concentration C est solution.
Il s’agit de :
(1) C’ + (E / [V(0) + (E-S).t]).C = E / [V(0) + (E-S).t]
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
La fonction constante 1 est évidemment une solution particulière de cette équation.
Attachons nous maintenant à résoudre l’équation sans second membre :
(2) C’ + (E / [V(0) + (E-S).t]).C = 0
(2) <=> C’ / C = - E / [V(0) + (E-S).t]
Nous terminerons en utilisant le résultat vu plus haut : la solution générale de (1) sera la somme de cette solution particulière de l’équation (1) et de la solution générale de l’équation (2).
(2) <=> C’ / C = - [E / (E-S)] . [V(0) + (E-S).t]’ / [V(0) + (E-S).t]
(car la dérivée de [V(0) + (E-S).t] est E - S)
en utilisant la formule ( Ln|u| )’ = u’ / u , on a :
(2) <=> ( Ln|C| )’ = .{ - [E / (E-S)] Ln([V(0) + (E-S).t]) }’
et donc (2) <=> ( Ln|C| ) = - [E / (E-S)] .{ Ln([V(0) + (E-S).t])} + constante
ceci parce que deux fonctions ayant même dérivée diffèrent d’une constante.
alors (2) <=> ( Ln|C| ) = Ln([V(0) + (E-S).t] ^-\ [E\ /\ (E-S)]^) + constante
et, en prenant l’exponentielle, en supprimant la valeur absolue et en remarquant que 0 est solution évidente de (2), on obtient
(2) <=> C = k . [V(0) + (E-S).t] ^-\ [E\ /\ (E-S)]^) où k est une constante queconque.
ainsi, on a la solution générale de l’équation (1) :
(1) <=> C = 1 + k . [V(0) + (E-S).t] ^-\ [E\ /\ (E-S)]^)
où k est une constante quelconque.
en faisant jouer maintenant la condition particulière (initiale) à savoir
C = C(0) quand t = 0 on obtient
C(0) = 1 + k . [V(0)] ^-\ [E\ /\ (E-S)]^)
d’où k = - (1 - C(0)) . [V(0)] ^[E\ /\ (E-S)]^)
on a enfin la solution cherchée :
C(t) = 1 - (1 - C(0)). \left[\frac{V(0)}{V(0) + (E-S).t}\right]^{E / (E-S)}
(2) <=> C’ / C = - E / V(0)
c’est à dire que
(2) <=> ( Ln|C| )’ = (- [E / V(0)].t )’
et donc avec le même raisonnement que précédemment,
(2) <=> Ln|C| = (- [E / V(0)].t ) + constante
d’où (2) <=> C = k . exp(- [E / V(0)].t )
d’où la solution générale de l’équation (1) :
(1) <=> C = 1 + k . exp(- [E / V(0)].t)
où k est une constante quelconque
en faisant jouer maintenant la condition initiale,
C = C(0) quand t = 0, on obtient
C(0) = 1 - k d’où k = - (1- C(0))
d’où la solution cherchée :
C(t) = 1 - (1 - C(0)). exp(- [E / V(0)].t)
Si un récipient contient initialement (au temps t=0) un volume V(0) d’une solution à 100.C(0) % d’alcool dans l’eau ; si une pompe introduit dans ce récipient de l’alcool pur, avec un débit d’entrée E ; si simultanément, une autre pompe prélève la solution du récipient, avec un débit de sortie S,
alors,
la concentration d’alcool dans le récipient est au temps t
a) C(t) = 1 - (1 - C(0)). exp(- [E / V(0)].t) dans le cas E = S
b) C(t) = 1 - (1 - C(0)). \left[\frac{V(0)}{V(0) + (E-S).t}\right]^{\frac{E}{E-S}} sinon. (voir NB)
NB : il convient de limiter dans le temps la portée de ce résultat ; en effet, si E < S, le récipient se vide, nous obligeant à stopper l’expérience ; si E > S, le récipient se remplit jusqu’à déborder !
On peut se demander d’où vient la différence entre les deux solutions ci-dessus ; l’utilisateur de machine notera en effet une division par zéro s’il essaie la solution ( b) ) pour E = S …
Il n’y a en fait aucune ambigüité puisque l’on peut démontrer que :
la limite quand E - S tend vers 0 de
1 - (1 - C(0)). [V(0) / [V(0) + (E-S).t] E / (E-S)
est
1 - (1 - C(0)). exp(- [E / V(0)].t)
on obtient
C = 1 - (1 - C(0)). [V(0) / [V(0) + E.t]
soit encore
C = [V(0).C(0) + E.t] / [V(0) + E.t]
ce qui est normal puisque le numérateur est la quantité d’alcool pur et le dénominateur le volume total dans le récipient au temps t..
on obtient
C = 1 - (1 - C(0))
soit encore
C = C(0)
Là encore, c’est logique, car, si rien n’entre, la concentration reste constante (jusqu’à ce que le récipient soit vide !)
on obtient
C = C(0) + (1-C(0)).[E / V(0)].t
c’est à dire une fonction affine de t (la courbe de C est une droite).
données : V(0) = 1 (1 litre au départ)
E = S = 0,1 (0,1 litre par minute)
C(0) = 0,50 (concentration 50 % au départ)
au bout de 10 minutes, on a
C(10) = 1 - 0,5.exp(-1) = 0,816 (concentration de 81,6 %)
données : V(0) = 1 (1 litre au départ)
E = 0,10 (entrée : 0,10 litre par minute)
S = 0,05 (sortie : 0,05 litre par minute)
C(0) = 0,50 (concentration 50 % au départ)
au bout de 10 minutes, on a
C(10) = 0,778 (concentration de 77,8 %)
données : V(0) = 1 (1 litre au départ)
E = 0,05 (entrée : 0,05 litre par minute)
S = 0,10 (sortie : 0,10 litre par minute)
C(0) = 0,50 (concentration 50 % au départ)
au bout de 10 minutes, on a
C(10) = 0,750 (concentration de 75,0 %)
Cet article, on l’aura lu plus haut, doit beaucoup à la curiosité de Richard Chaby que l’auteur tient ici à remercier, mais, laissons le Dr Chaby s’exprimer, en guise de conclusion :
“ Début septembre, j’ai été confronté dans mon laboratoire à la nécessité d’injecter dans un appareil de chromatographie liquide sous haute pression (HPLC), à l’aide de pompes, un mélange de deux solvants, le mélange devant évoluer au cours du temps de manière connue. Ceci m’a amené à passer le week-end à réfléchir à la solution mathématique du problème, et comme j’ai été (à mon grand dépit) incapable de trouver une équation générale satisfaisante, j’ai écrit un petit programme qui, par simulation, donne néanmoins la valeur numérique cherchée. Bien que ceci soit satisfaisant dans la pratique, j’étais intellectuellement insatisfait. Par ailleurs, je trouvais qu’il s’agissait là d’un problème qui, dans une formulation simplifiée, peut s’appliquer à des exemples beaucoup plus divers que le petit problème technique qui l’a initié. On peut par exemple s’interroger sur la variation de la concentration en sel d’une cellule lorsque des canaux ioniques d’entrée et de sortie d’ions sont en œuvre. Je me suis dit que seul quelqu’un stimulé par la résolution de problèmes mathématiques pourrait me venir en aide. Aussi ai-je entré dans un moteur de recherche Internet les mots”résolution" + “problèmes” + “mathématique”. Dans une longue liste de sites, souvent sans rapport avec le sujet, c’est celui de Quadrature Infernale qui m’a attiré (peut-être parce que j’aime bien, moi-même, les petites énigmes mathématiques). Voilà donc pourquoi nous avons eu les petits échanges épistolaires relatés dans l’introduction qui ont débouché sur cet article "