Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
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Excès de vitesse…
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
La Mayenne, chef-lieu LAVAL, est le pays du Port-Salut, un fromage au lait de vache à croûte lavée et caillé pressé… LEON NOEL qui travaillait à sa fabrication dit un jour à l’un de ses collègues :
TU L AS TROP ECRASE CESAR CE PORT SALUT
Ce reproche est sans doute l’un des plus beaux palindromes de la langue française ; il n’a rien à envier au fameux :
ABLE WAS I ERE I SAW ELBA
que l’on attribue à Napoléon qui se sentit pousser des ailes dès qu’il vit la perfide Albion - à moins que ce ne soit l’île d’Elbe…
Un palindrome est une phrase, un nombre, un message, qui, si l’on ne tient compte ni des espaces ou apostrophes, ni des signes de ponctuation, peut être lu de droite à gauche ou de gauche à droite en gardant le même sens ou plutôt la même signification.
Les nombres palindromes ont de curieuses propriétés :
Dernièrement, alors que j’allais justement à LAVAL, venant de SEES, je roulais sur la départementale 909, au coeur du Parc Régional Normandie-Maine ; je venais de faire une pointe à 111 km/h pour doubler une antique 404, et le tachymètre de ma vieille Volvo (il n’y a pas de R.E.R. dans nos campagnes) indiquait 99 km/h ; soudain, un camion SATATAS, de NOYON, immatriculé curieusement 3773 BAB 77 (alors que NOYON ne se trouve pas en Seine et Marne) me fit un appel de phares ; je donnai immédiatement un petit coup de frein et passai tranquillement à 88 km/h devant un RADAR sournoisement caché dans un haut de côte, à l’entrée d’un petit chemin, près de la frontière du département de la Mayenne, à l’altitude de 333 m ; c’est là que je m’aperçus que le compteur de mon véhicule affichait ostensiblement 268 862 kilomètres…
Un peu plus tard, alors que je n’en finissais pas de RESSASSER cette suite de mots et nombres étranges et de REVER à tous ces palindromes, je m’arrêtai au Mont des Avaloirs, point culminant du Massif Armoricain, d’où, par beau temps, l’on peut distinguer 33 clochers d’églises alentour.
Avec un papier et un crayon, je vérifiai certaines observations qui m’avaient paru étranges :
268 862 est un palindrome multiple de 11.
En le divisant par 11, je trouve 24442, autre palindrome;
mais 24442 est aussi un multiple de 11 ;
En le divisant par 11, je trouve 2222, autre palindrome;
mais 2222 est aussi un multiple de 11 ;
En le divisant par 11, je trouve 202, autre palindrome (qui, lui, n’est pas divisible par 11, mais par 101).
En y regardant de plus près, j’observai que :
268 862 = 2 * 100 001 + 60 * 1001 + 800 * 11
avec 100 001 = 11 * 9091
et 1001 = 11* 91
ce qui explique pourquoi 268 862 (et plus généralement tous les palindromes de deux,quatre ou six chiffres) est un multiple de 11.
Regagnant ma voiture, je me promis de chercher, en arrivant chez moi, le critère de divisibilité par 11 ; j’étais en effet persuadé qu’il me permettrait de prouver le résultat suivant :
Tout nombre palindrome ayant un nombre pair de chiffres est un multiple de 11.
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–> Comment prouver le résultat ci-dessus ?
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–> Un nombre entier est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rang impair (le premier, le troisième, le cinquième…) diffère de la somme de ses chifffres de rang pair (le deuxième, le quatrième, le sixième…) d’un multiple de 11.
Par exemple :
1 908 071 est multiple de 11
car 1+ 0+ 0+1 = 2
et 9+8 +7 = 24
enfin, 24 - 2 = 22 = 2 * 11
2 981 aussi
car 2 +8 = 10
et 9+1 = 10
enfin, 10 - 10 = 0 = 0 * 11
1 995 non
car 1 +9 = 10
et 9+5 = 14
enfin, 14 - 10 = 4 n'est pas multiple de 11
–> Si un nombre palindrome a un nombre pair de chiffres, la somme de ses chiffres de rang pair égale la somme de ses chiffres de rang impair ; il est donc divisible par 11 (car 0 est multiple de 11).
Par exemple :
pour a b c d e e d c b a (palindrome de 10 chiffres)
on a a + c + e + d + b (chiffres de rang impair)
et b + d + e + c + a (chiffres de rang pair)
qui sont naturellement égaux !
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juin 1998
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