Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
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Le palindrome 11
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
11 et les palindromes
A LAVAL IL AVALA est un palindrome, tout comme 239 932 ou UBU (héros d’ Alfred Jarry, écrivain originaire de LAVAL -capitale du palindrome- qui jure toujours …MERDRE MERDRE MERDRE M…)
Un palindrome est en effet une phrase, un nombre ou un message pouvant être lu indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche.
Nous rappelons qu’un nombre entier palindrome ayant un nombre pair de chiffres est toujours divisible par 11, mais que la réciproque est fausse (par exemple, 2211, évidemment multiple de 11, qui possède 4 chiffres, n’est pas un palindrome).
Ainsi, 239 932 = 11 * 21812
On peut vérifier aussi que 21812, bien que palindrome, n’est pas divisible par 11 (il aurait pu l’être, mais ce n’était pas obligatoire car le nombre de ses chiffres, 5, est impair)
–> 11 est bien sûr un palindrome (multiple de 11 forcément ! ), mais c’est aussi le onzième nombre palindrome, après les chiffres
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
–> Observons maintenant les puissances de 11: (où ^ désigne l’opérateur de puissance)
11^0 = 1 est un palindrome
11^1 = 11 est un palindrome
11^2 = 121 est un palindrome
11^3 = 1331 est un palindrome
11^4 = 14641 est un palindrome
Ainsi, les cinq premières puissances de 11 sont des palindromes ; peu de nombres ont cette propriété, en dehors de 101 (qui vérifie 101^0 = 1 ; 101^1 = 101 ; 101^2 = 10201 ; 101^3 = 1030301 ; 101^4 = 104 060 401), de 1001 (un multiple de 11), de 10001 etc…
–> Venons en aux multiples de 11 :
Les premiers :
0 ; 11 ; 22 ; 33 ; 44 ; 55 ; 66 ; 77 ; 88 ; 99 ; 110 ; 121
sont tous des palindromes, à l’exception de 110 toutefois.
Cependant, 110 ressemble à un palindrome, surtout si l’on remarque que 110, c’est 0 millier, 1 centaine, 1 dizaine, et 0 unité, c’est à dire 0110 ; ce nombre 110 est un palindrome généralisé.
En effet :
On appelle palindrome généralisé un nombre qui, si on le prive des zéros écrits à sa droite (à droite du dernier chiffre non nul), devient un palindrome. (bien sûr, un palindrome est un palindrome généralisé)
N.B. : Cette généralisation est justifiée par le fait que 770 par exemple pourrait s’écrire 0770, de même que 323 000 s’écrirait aussi 000 323 000 …
–> 11 est le dernier terme de la suite de nombres consécutifs
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11
qui sont tous des palindromes généralisés.
–> 11 est aussi un nombre premier ; il est même le terme médian de la suite
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23
des neuf premiers nombres premiers,
suite dont la somme des termes est 100, un palindrome généralisé.
De plus, si nous considérons seulement la suite
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19
des huit premiers nombrespremiers,
nous pouvons vérifier que :
la somme de ses termes est 77, palindrome égal au produit des deux termes médians 7 et 11 ;
le produit de ses termes est 9 699 690,ou encore 0969 9690, qui est un palindrome généralisé.
–> Terminons par un
Exercice :
Déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 10 000 qui sont des palindromes et dont la somme des chiffres est un multiple de 11
Solution :
–> La somme des chiffres sera 11, 22 ou 33 (les nombres cherchés ont au plus quatre chiffres égaux au plus à 9 et 4 * 9 = 36 ; bien sûr, la somme des chiffres n’est pas 0 car le nombre 0 n’est pas premier.)
Les nombres cherchés ont au moins deux chiffres, mais dans les palindromes de deux ou quatre chiffres, seul 11 est premier (car tous sont divisibles par 11) et il ne répond pas au problème (la somme de ses chiffres est 2)
Les solutions ont donc trois chiffres et sont de la forme ABA avec A différent de 0, 2, 4, 6, 8 (sinon ABA serait pair et donc non premier) et A différent de 5 (sinon ABA serait multiple de 5)
On a A + B + A égale 11 ou 22 (car 33 serait trop ! )
Les seules solutions possibles sont donc
191 ; 353 ; 787 ; et 949
mais 949 = 13 * 73 alors que les trois autres nombres conviennent parfaitement.
Il y a donc trois solutions : 191 ; 353 ; 787 .
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18 mai 1998
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