Dans un précédent article, nous expliquions comment Ettore Tribonano, à la suite d’un fait divers étonnant (la découverte le 20 juillet 1839, entre Crémone et Parme, d’une caisse de lingots d’argent ) avait été amené à étudier les parallélépipèdes rectangles que nous appelons briques pour simplifier…
Il nous faut aujourd’hui redire la vérité à nos lecteurs curieux qui, n’ayant pas lu les derniers mots de l’article, ont cherché en vain Tribonano dans leurs dictionnaires et encyclopédies: E.T. n’a jamais existé en dehors de l’imagination de l’auteur qui demande humblement qu’on lui pardonne cette facétie ; néanmoins, Cardan et Fibonacci cités également dans cet article ont bel et bien vécu et produit les résultats que l’on sait…
Le présent article reprend les notations et vocabulaire du précédent et, à travers une étude plus exhaustive et approfondie des briques, établit un certain nombre de résultats liés au Nombre d’Argent et invite le lecteur à en prouver quelques autres.
Comme nous en sommes déjà convenus, nous représenterons toujours une brique avec la notation B ( h ; l ; L ) où la hauteur h non nulle est inférieure ou égale à la largeur l, elle même inférieure ou égale à la Longueur L.
La brique B ( h ; l ; L ) est un cube si h = l = L.
La brique B ( h ; l ; L ) est carrée si h = l ou l = L.
La brique B ( h ; l ; L ) est fibonaccienne si L = l+h
La brique B ( h ; l ; L ) est géométrique si l² = h.L
La brique B ( h ; l ; L ) est arithmétique si 2l = h+L
La brique B ( h ; l ; L ) est harmonique si 2/l = (1/h )+(1/L )
La brique B ( h ; l ; L ) est belle si L = h.l
La preuve des résultats suivants est laissée à la sagacité du lecteur:
Une brique cubique est à la fois carrée, géométrique, arithmétique et harmonique ; elle n’est belle que si h = 1 ; elle n’est jamais fibonaccienne.
Une brique qui est à la fois géométrique et arithmétique est nécessairement cubique.
Une brique qui est à la fois arithmétique et harmonique est nécessairement cubique.
Une brique qui est à la fois harmonique et géométrique est nécessairement cubique.
De même, le lecteur vérifiera que:
Les briques B ( 3 ; 5 ; 15 ), et B ( 2 ; 3 ; 6 ) sont harmoniques ;
Les briques B ( 2 ; 4 ; 8 ), et B ( 4 ; 6 ; 9 ) sont géométriques ;
Les briques B ( 1,5 ; 3 ; 4,5 ), et B ( 7 ; 8 ; 9 ) sont arithmétiques.
La brique B ( 2 ; 11 ; 22 ) n’est ni géométrique, ni arithmétique, ni harmonique.
Les exemples ci-dessus pourraient laisser croire que les briques harmoniques sont toutes belles. Il n’en est rien puisque, par exemple la brique B ( 15 ; 21 ; 35 ) est harmonique, mais pas belle.
Si l’on change d’unité de mesure, toutes les dimensions (linéaires ) d’une brique se trouvent multipliées par un même nombre réel strictement positif k.
Une brique géométrique B ( h ; rac(h.L ) ; L ) devient ainsi B ( k.h ; k.rac(h.L ) ; k.L ) et reste géométrique car (k.rac(h.L ) )² = (k.h ).(k.L )
Une brique arithmétique B ( h ; (h+L )/2 ) ; L ) devient ainsi B ( k.h ; k.((h+L )/2 ) ; k.L ) et reste arithmétique car k.((h+L )/2 ) = (k.h+k.L )/2
Une brique harmonique B ( h ; 2/((1/h )+(1/L ) ) ; L ) devient ainsi B ( k.h ; k.2/((1/h )+(1/L ) ) ; k.L ) et reste harmonique car k.2/((1/h )+(1/L ) ) = 2/((1/(k.h ) )+(1/(k.L ) ) )
De même, une brique cubique (respectivement carrée ou fibonaccienne ) reste cubique (respectivement carrée ou fibonaccienne ) quel que soit le changement d’unité opéré.
Ainsi donc, les notions de brique arithmétique, géométrique, harmonique, carrée, cubique ou fibonaccienne sont des notions intrinsèques, c’est-à dire qu’elles ne sont pas liées au choix de l’unité et caractérisent une brique indépendamment du système de mesure.
Il en va différemment de la notion de belle brique: la brique B ( 2 ; 3 ; 6 ) est belle car 2.3 = 6 ; divisons l’unité par 2 et cette brique devient B ( 4 ; 6 ; 12 ) qui n’est plus belle (4.6 = 24 ).
La beauté est donc une notion subjective qui dépend du choix de l’unité et nous allons prouver tout de suite qu’étant donnée une brique, on peut toujours trouver une unité qui en fait une belle brique:
On a une brique B ( h ; l ; L ) et l’on cherche par quel nombre k diviser l’unité pour que la brique devenant B ( k.h ; k.l ; k.L ) soit belle ; il suffit de poser k = L/(h.l ) et l’on a bien (k.h ).(k.l ) = (L/l ).(L/h ) = (L/(h.l ) ).L = k.L
Ainsi, k = 0,3 fait de la brique arithmétique “ordinaire” B ( 4 ; 5 ; 6 ) une belle brique arithmétique B ( 1,2 ; 1,5 ; 1,8 ).
Comme quoi la Beauté est dans la Nature et il suffit de se donner la peine de la chercher pour la trouver.
Nous ne pouvons résister d’ailleurs au plaisir de noter l’existence de la brique B ( phi ; phi² ; phi3 ) où phi est la solution positive de l’équation du second degré X² = X+1, c’est-à dire le nombre d’or ; cette brique est géométrique, fibonaccienne, et Belle
Une brique d’argent est (voir article précédent : les lingots d’argent) une brique géométrique B ( h ; h.psi ; h.psi² ) où psi est l’unique solution de l’équation de degré trois:
X^3 = X² + X + 1
On a montré que:
psi = [ 1 + (19+3rac(33 ) )^(1/3) + (19-3rac(33 ) )^(1/3 )] / 3
et que psi = 1,839 286 755 (environ)
psi est le NOMBRE d’ARGENT.
C’est en choisissant une unité de mesure qui est telle que h = psi que cette brique d’argent sera la plus belle puisque ses dimensions vérifieront alors L = h.l. Il est assez curieux de constater que les lingots d’argent de masse 1kg qui sont des briques d’argent sont, compte tenu de la densité de ce métal noble, des briques B ( 2,483 ; 4,567 ; 8,399 ) si l’unité choisie est le centimètre, mais que ces lingots deviennent des belles briques d’argent géométriques B ( 1,839 ; 1,839² ; 1,839^3 ) si l’on choisit comme unité le demi-pouce. Un demi-pouce égale six lignes, c’est-à dire six fois le diamètre d’un grain d’orge et le demi-pouce de l’étalon du Chatelet-Paris mesure 1,35 cm.
Le théorème de Pythagore permet de montrer que la diagonale D (distance entre deux sommets n’appartenant pas à une même face ) d’une brique B ( h ; l ; L ) vérifie l’équation suivante:
D² = h² + l² + L²
Voici quelques exemples de diagonales:
| B ( 3 ; 5 ; 15 ) | D = 16,09 | B ( 2 ; 3 ; 6 ) | D = 7 |
| B ( 2 ; 4 ; 8 ) | D = 9,16 | B ( 4 ; 6 ; 9 ) | D = 11,53 |
| B ( 7 ; 8 ; 9 ) | D = 13,93 | B ( 4 ; 6 ; 9 ) | D = 11,53 |
| B ( 2 ; 11 ; 22 ) | D = 24,68 | B ( 4 ; 5 ; 6 ) | D = 8,77 |
| B ( 3 ; 4 ; 12 ) | D = 13 | B ( 1 ; 2 ; 2 ) | D = 3 |
| B ( 5 ; 6 ; 30 ) | D = 31 | B ( 6 ; 13 ; 18 ) | D = 23 |
C’est très amusant lorsque h, l, L et D sont tous des entiers, mais il est d’autres cas intéressants:
La brique fibonaccienne et géométrique B ( 1 ; phi ; phi² ) a une diagonale D = 2phi.
La brique géométrique B ( 1 ; rac(psi); psi ) a une diagonale qui est le quatrième terme de la progression géométrique 1 ; rac(psi); psi… puisque rac(1+psi+psi² ) = rac(psi^3 ) = psi.rac(psi)
On rappelle que la fille d’une brique B ( h ; l ; L ) est la brique obtenue en lui “collant” sur sa face supérieure une brique fibonaccienne B ( l ; L ; l+L ) ; (en réalité, l’accouchement ne s’arrête pas là: il y a ensuite une réduction qui permet à la fille d’avoir le même volume que sa mère, mais nous évoquerons ce point ultérieurement ).
La fille d’une brique B ( h ; l ; L ) est donc une brique B ( l ; L ; h+l+L ).
On a vu qu’une brique d’argent est semblable à sa fille, cette dernière étant également d’argent (les ethno-généticiens qui étudient les familles de briques disent que le fait d’être d’argent est un caractère dominant dans la société matriarcale des briques ).
Contemporain de Darwin, Tribonano aurait sûrement pensé à l’évolution des populations de briques que nous appellerons la parallélépipédocinèse (du grec parallêlos, epipedon: surface plane et kinêsis: mouvement ) ; cette théorie soutenue actuellement par une école d’ethno-généticiens veut que les briques, au fil des générations, subissent des transformations successives qui les font “tendre” vers un modèle idéal: celui de la brique d’argent B ( h ; h.psi ; h.psi² ).
Nous allons expliquer maintenant les fondements mathématiques de cette théorie:
Prenons par exemple pour racine (la Grande Ancêtre ou mère éternelle ) la brique cubique Ba (1 ; 1 ; 1 ) appelée Béa ; en lui “jouxtant” une brique fibonaccienne B ( 1 ; 1 ; 2 ) on obtient sa fille Bb ( 1 ; 1 ; 3 ) appelée Bébé ; en “collant” à cette dernière une brique fibonaccienne B ( 1 ; 3 ; 4 ), on a sa fille Bc ( 1 ; 3 ; 5 ) dont la fille est Bd ( 3 ; 5 ; 9 ) dont la fille est Be ( 5 ; 9 ; 17 )…et ainsi de suite, en passant par la brique Béo à la quinzième génération, brique Béo qui est Bo ( 2209 ; 4063 ; 7473 ).
On note alors que 7473/4063 = 1,839.281
et 4063/2209 = 1,839.294 (résultats approchés)
Ces approximations, voisines de psi, suggèrent que le temps joue pour les briques et qu’elles évoluent naturellement, ou “tendent” vers le modèle de la brique d’argent ; ce résultat fera d’ailleurs l’objet d’une démonstration qui sera donnée au paragraphe suivant.
A ce point de notre récit, certains lecteurs peuvent se montrer légitimement inquiets: les briques deviendraient-elles des mastodontes au fil du temps? Nous les rassurerons en disant que naturellement il n’en est rien à cause d’un phénomène de régulation naturelle que nous avons tû jusqu’à présent: en fait, chaque brique a même volume réel que sa mère ; celà ne se voit pas pour la simple raison qu’à chaque génération, on divise l’unité de mesure de volume par le quotient de la Longueur de la brique de cette génération et de la hauteur de sa mère.
Dans l’unité mère, le volume de la mère est h.l.L Um ; dans l’unité fille, le volume de la fille est l.L.(h+l+L ) Uf et, puisque 1 Uf = (h/(h+l+L ) ) Um, mère et fille ont bien le même volume réel.
Si l’on considère comme unité universelle l’unité utilisée du temps de la Grande Ancêtre Béa, toutes ses descendantes ont un volume égal à 1.
Toutes les briques descendant de Béa ont leurs trois dimensions (hauteur, largeur, Longueur ) qui sont trois termes successifs de la suite de Tribonano:
1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; 31 ; 57 ; 105 ; 193 ; 355 ; 653…
Cette suite est définie par la donnée de ses trois premiers termes:
U0 = U1 = U2 = 1
et par la relation de récurrence:
Un+3 = Un+2 + Un+1 + Un pour tout entier n
En fait, à partir du quatrième terme, chacun des termes égale la somme des trois termes qui le précèdent.
Définissons maintenant une nouvelle suite en posant, pour tout entier naturel n:
Vn = Un+1 / Un
On a:
V0 = 1/1 = 1 ; V1 = 1/1 = 1 ;
V2 = 3/1 = 3 ; V3 = 5/3 = 1,667… ;
V4 = 9/5 = 1,8 ; V5 = 17/9 = 1,889 … ;
V6 = 31/17 = 1,824 … ; V7 = 57/17 = 1,839 … ;
V8 = 105/57 = 1,842 … ; V9 = 1,838 …
Reprenons la relation de récurrence:
Un+3 = Un+2 + Un+1 + Un
et divisons par Un+2 ; il vient:
Un+3 / Un+2 = 1 + Un+1 / Un+2 + Un / Un+2
donc, grâce à un petit artifice:
Un+3 / Un+2 = 1 + Un+1 / Un+2 + (Un / Un+1 )*(Un+1 / Un+2 )
c’est à dire:
Vn+2 = 1 + 1 / Vn+1 + (1 / Vn ).(1 / Vn+1 )
Nous laissons le lecteur admettre (ou démontrer ) que la suite (Vn ) est convergente et notons sa limite p.
En passant à la limite dans l’égalité ci-dessus, on obtient:
p = 1 + 1/p + 1/p²
et donc en multipliant par p²:
p^3 = p² + p + 1
p est donc, comme nous l’avons rappelé plus haut unique et égal à psi : c’est le nombre d’argent.
Nous avons ainsi la preuve que la parallélépipédocinèse repose sur des bases scientifiques: il est en effet bien établi maintenant que les briques descendant de Béa tendent bien vers une brique d’argent.
En ajoutant une dimension, on peut s’intéresser, dans un hyperespace de dimension 4 à des hyperbriques H ( h ; l ; L ; t ) ; une hyperbrique est dite d’airain si l/h = L/l = t/L = r où r est le nombre d’airain, limite de la suite des quotients Un+1 / Un associés à la suite d’Irina QUADRARI:
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 4 ; 7 ; 13 ; 25 ; 49 ; 94…
Nous réservons le calcul de r pour plus tard, dans une autre ru-brique ou hyper-ru-brique.
Le lecteur est invité à démontrer les résultats suivants, ce qui sera pour lui une excellente révision de la formule de Cardan et de son utilisation:
psi désignant le nombre d’argent, c’est à dire l’unique solution de l’équation de degré trois:
X^3 = X² + X + 1
On a montré que:
psi = [ 1 + (19+3rac(33 ) )^(1/3) + (19-3rac(33 ) )^(1/3) ] / 3
et que psi = 1,839 286 755 …
On peut ajouter que:
psi^(-4) = [ 2.(17+3rac(33 ) )^(1/3) + 2.(17-3rac(33 ) )^(1/3) - 5 ] / 3
psi^(-3) = [ - (19+3rac(33 ) ) ^(1/3) - (19-3rac(33 ) ) ^(1/3) + 5 ] / 3
psi^(-2) = [ (26+6rac(33 ) ) ^(1/3) + (26-6rac(33 ) ) ^(1/3) - 1 ] / 3
psi^(-1) = [ (17+3rac(33 ) ) ^(1/3) + (17-3rac(33 ) ) ^(1/3) - 1 ] / 3
psi = [ (19+3rac(33 ) ) ^(1/3) + (19-3rac(33 ) ) ^(1/3) + 1 ] / 3
psi^2 = [ (54+6rac(33 ) ) ^(1/3) + (54-6rac(33 ) ) ^(1/3) + 3 ] / 3
psi^3 = [ (199+3rac(33 ) ) ^(1/3) + (199-3rac(33 ) ) ^(1/3) + 7 ] / 3
psi^4 = [ 2.(199+3rac(33 ) ) ^(1/3) + 2.(199-3rac(33 ) ) ^(1/3) + 11 ] / 3
Il est absolument remarquable que les huit premiers nombres premiers 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 se cachent (ou se montrent ) dans les huit expressions ci-dessus.
Ces huit nombres premiers ont pour somme 77 qui est le produit des deux médians 7 et 11 ; 77 est un palindrome ; de plus le produit des huit nombres premiers cités vaut 9699690 et peut être assimilé à 09699690 qui est un palindrome généralisé.
Ces propriétés du nombre d’argent sont “psychédélicieuses” et la présence du nombre premier 199 dans les égalités ci-dessus a de quoi nous interpeller quelque part! Que signifie la présence de cet intrus dans nos formules?
Une réponse à la question précédente est que 199 est un des termes d’une suite première de Tribonano dont les trois premiers termes sont des nombres premiers consécutifs, et que cette suite est de longueur maximale (six termes premiers )… Nous serons peut-être appelés à reparler de ces suites une prochaine fois.