Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
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37 et le palindrome du Diable
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
Comme les histoires drôles, les palindromes “alphabétiques” se transmettent le plus souvent oralement, leurs découvreurs géniaux et souvent plein d’humour se trouvant de ce fait méconnus ; qui, par exemple, est l’auteur du fameux
ERIC NOTRE VALET ALLA TE LAVER TON CIRE ?
Sans doute le même qui a noté avec malice qu’il valait mieux que le valet ne s’appelât pas LUC !
On rappelle que :
Un palindrome est une phrase, un nombre, un message, qui, si l’on ne tient compte ni des espaces ou apostrophes, ni des signes de ponctuation, peut être lu de droite à gauche ou de gauche à droite en gardant le même sens ou plutôt la même signification.
Nous ferons dans cet article quelques observations relatives aux palindromes numériques, et plus particulièrement à ceux qui sont liés au fameux nombre 37. C’est notamment le cas du nombre du Diable 666 .
Remarquons tout d’abord que tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’un palindrome, et souvent de nombreuses manières différentes.
Le nombre 37, par exemple, peut s’écrire :
1 + 1 + 1 + 1 + . . . . . + 1 + 1 + 1 + 1 (où 1 apparait 37 fois)
ou 11 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 11 (où le chiffre 1 est utilisé 3 + 7 (ou 10) fois)
Remarquons cependant que l’expression
1 1 1
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1 + 1 + 1 (avec six 1) n’est pas un vrai palindrome, mais traduit un résultat que nous reverrons, et qui justifie à lui seul le choix du nombre 37 comme exemple.
Si l’on veut utiliser d’autres chiffres que 1, on peut noter que 37 s’exprime aussi (entre autres) sous les formes :
11 + 2 + 11 + 2 + 11
12 + 4 + 21
61 - 8 - 16
72 - 8 - 27
(3 * 6) + 1 + (6 * 3)
(4 ^ 2) + 5 + (2 ^ 4)
où “^” désigne l’opérateur “puissance” : 4 ^ 2 = 4 * 4 et 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2
Mais, revenons à l’égalité (111 / 3) = 37 ; elle montre que la suite des douze nombres
0 * 37 ; 3 * 37 ; 6 * 37 ; 9 * 37 ; 12 * 37 ; 15 * 37 ;
18 * 37 ; 21 * 37 ; 24 * 37 ; 27 * 37 ; 30 * 37 et 33 * 37
est constituée de palindromes (dont un palindrome généralisé) ; ce sont en effet
0 ; 111 ; 222 ; 333 ; 444 ; 555 ; 666 ; 777 ; 888 ; 999 ;
1110 (ou 01110) et 1221.
Les dix premiers ne sont pas tout à fait anodins et le septième, 666, a souvent été considéré comme diabolique . Il est en effet à la fois multiple de 37 puisque
666 = 18 * 37
et somme des 37 premiers entiers car
0 + 1 + 2 + 3 + ………. + 33 + 34 + 35 + 36 = 666
Il est également somme des carrés des sept premiers nombres premiers :
666 = 2² + 3² + 5² + 7² + 11² + 13² + 17²
Mais aussi somme de cubes :
{666 = 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+5^3+4^3+3^3+2^3+1^3}
que l’on écrira sous la forme d’un palindrome :
(1*1*1)+(2*2*2)+(3*3*3)+(4*4*4)+(5*5*5)+(6*6*6)+(5*5*5)+(4*4*4)+(3*3*3)+(2*2*2)+(1*1*1)
Revenons à 37 pour noter que 37 + 73 donne pour résultat 110 (ou 0110) qui est un palindrome généralisé ; on a donc :
37 + 73 = 0110 = 37 + 73
qui se lit de gauche à droite ou de droite à gauche.
Terminons en observant les premières puissances de 111 :
1110 = 1 ; 1111 = 111 ; 1112 = 12321 ; 1113 = 1367631
Les résultats sont des nombres palindromes et l’on peut écrire les égalités palindromes :
12321 = 111 * 111 = 12321
1367631 = 111 * 111 * 111 = 1367631
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
Exercice : Une permutation de chiffres dans le nombre 12321 permet d’obtenir un palindrome multiple de 666 ; lequel ?
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
Voulez vous un indice ?
la solution ?
Indice : C’est forcément un nombre pair…
Solution : C’est forcément un nombre pair, donc 2 . . . 2 ; comme le chiffre 3 est unique, il reste au centre et le résultat est 21312 (soit 32 * 666).
Notons que c’est aussi 96 * 222 qui “se retourne” en 222 * 96 (avec des chiffres type calculatrice).
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juin 1997 ; mise à jour 18 janvier 1998
*Université du Maine
Institut Universitaire de Technologie
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52 rue Calmette et Guerin
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