L’auteur souhaite à ses lecteurs une bonne et heureuse année 2000 et leur présente tous ses voeux de santé, bonheur, amour, ivresse et réussite pour les 366 jours qui précèdent 2001.
Cet article est consacré au nombre 2000 ; toutefois, quelques remarques sur l’année 2000 précéderont des propriétés curieuses du nombre 2000.
Oui, on nous en a vraiment rebattu les oreilles : 2000, année du siècle, serait l’année des bogues ! En dehors de l’aspect commercial de ces annonces, nous pouvons espérer que 2000 sera une bonne année pour les châtaignes…
Disons tout de même que 1999 et 2000 resteront les années des bourdes ; la meilleure que nous ayons entendue, sur les ondes d’une radio nationale est la suivante ; commentant les nombreux malheurs liés aux tempêtes des 26 et 27 décembre 1999, un journaliste disait à peu près ceci : “ de nombreuses familles devront passer le réveillon de changement de millénaire à la bougie, comme on l’avait fait il y a un siècle…”
Les lecteurs de cet article, naturellement matheux, savent bien que l’origine des temps pour notre calendrier grégorien est un point 0 d’abscisse 0 (zéro), nommé aussi JC ; si l’on prend comme unité l’année (ce qui est une unité approximative : certaines durent 365 jours, d’autres 366 ; l’une a duré 355 jours…), la première année après JC va de l’abscisse 0 à l’abscisse 1 ; la seconde va de l’abscisse 1 à l’abscisse 2 ; la troisième, de l’abscisse 2 à l’abscisse 3 … la centième, de l’abscisse 99 à l’abscisse 100 … la deux-millième, de l’abscisse 1999 à l’abscisse 2000 ; et, la première année avant JC va de l’abscisse -1 à l’abscisse 0 ; la seconde va de l’abscisse -2 à l’abscisse -1 ; la troisième, de l’abscisse -3 à l’abscisse -2… la centième, de l’abscisse -100 à l’abscisse -99 … On remarquera, bien entendu, qu’il n’y a pas d’année numéro zéro.
Ainsi, le premier siècle après JC se termine à la fin de la centième année ; le second à la fin de l’année 200 ; le vingtième à la fin de l’année 2000.
De même, le premier millénaire s’achève à la fin de la millième année et l’on passera au troisième millénaire le 31 décembre de l’année 2000, à minuit.
Qu’importe après tout ? Les spécialistes de la mercatique sauront bien nous inciter à faire la fête encore à la fin de cette année ; ne voit-on pas souvent des grandes et moyennes surfaces fêter leur anniversaire plusieurs fois l’an ?
On rappelle qu’une année ordinaire compte 365 jours, soit 52 semaines et 1 jour (365=52 x 7+1) ; une année bissextile a 366 jours, soit 52 semaines et 2 jours (366=52 x 7+2)
L’année 2000 est bissextile (comme le sont, depuis 1582, toutes les années dont le millésime ou numéro est divisible soit par 400, soit par 4 mais pas par 100) de même que le fut 1600 ; par contre, 1700, 1800, 1900 ne le furent pas, et 2100, 2200, 2300 ne le seront pas. Ainsi, depuis l’adoption du calendrier grégorien (en 1582), le vingtième siècle, du 1 janvier 1901 au 31 décembre 2000 inclus dure 36525 jours (75*365+25*366) et c’est le premier à être aussi long puisque les trois siècles précédents n’avaient duré que 36524 jours. Le seizième siècle lui, n’avait duré que 36515 jours.
Avec ses 366 jours, l’année 2000 commence un samedi et se termine un dimanche ; en somme, c’est comme un grand week-end qui terminera siècle et millénaire à la fois. Les prochains siècle et millénaire commenceront donc un lundi, soit au début d’une semaine.
Une année sur quatre est bissextile (entre 1901 et 2099) et une année bissextile sur sept commence par un samedi ; ainsi, tous les vingt-huit ans, on trouve le même calendrier dans sa version simple : 1916, 1944, 1972, 2000, 2028, 2056 et 2084 sont semblables, ou presque…
Presque seulement, car les dates de Pâques et de toutes les fêtes qui s’y rattachent varient également chacune sur cinq semaines. Si l’on tient compte de cela, 2000 a le même calendrier que 1916 (entre 1900 et 2100), mais également 1628 et 1848 (entre 1582 et 1900), et c’est tout !
Une suite de Fibonacci étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du troisième, est la somme des deux termes le précédant, plusieurs suites de Fibonacci contiennent le nombre 2000 ; par exemple celle commençant par 4 et 20 :
Ses termes successifs, jusqu’à 2000, sont :
4 , 20 , 24 , 44 , 68 , 112 , 180 , 292 ,472 , 764 , 1236 , 2000.
Il y en a douze ; on dit que cette suite est de longueur 12.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Fibonacci contenant 2000 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Tribonano étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du quatrième, est la somme des trois termes le précédant, plusieurs suites de Tribonano contiennent le nombre 2000 ; par exemple celle commençant par 3 , 20 et 27 :
Ses termes successifs jusqu’à 2000 sont :
3 ;20 ; 27 ; 50 ; 97 ; 174 ; 321 ; 592 ; 1087 ; 2000
Il y en a dix ; cette suite est de longueur 10.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Tribonano contenant 2000 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Quadrari étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du cinquième, est la somme des quatre termes le précédant, plusieurs suites de Quadrari contiennent le nombre 2000 ; par exemple celle commençant par 4 , 7 , 12 , 17 :
Ses termes successifs (jusqu’à 2000) sont :
4 , 7 , 12 , 17 ; 40 ; 76 ; 145 ; 278 ; 539 ; 1038 ; 2000
Cette suite est de longueur 11.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Quadrari contenant 2000 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Quintina étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du sixième, est la somme des cinq termes le précédant, plusieurs suites de Quintina contiennent le nombre 2000 ; par exemple celle commençant par 3 , 4 , 5 , 10 , 14 :
Ses termes successifs (jusqu’à 2000) sont :
3 , 4 , 5 , 10 , 14 , 36 , 69 , 134 , 263 , 516 , 1018 , 2000
Cette suite est de longueur 12.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Quintina contenant 2000 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Sexagogo étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du septième, est la somme des six termes le précédant, plusieurs suites de Sexagogo contiennent le nombre 2000 ; par exemple celle commençant par 1 , 2 , 4 , 8 , x et y :
Ses termes successifs (jusqu’à 2000) sont :
1 , 2 , 4 , 8 , x ; y ; 15 + x + y ; ……….. ; 2000
Le lecteur est invité à rechercher x et y de telle sorte que cette suite soit la plus longue possible.
Pythagore a montré que la somme des carrés des deux petits côtés d’un triangle rectangle est égale au carré de son grand côté (l’hypoténuse).
Cherchons alors un triangle rectangle dont 2000 serait la mesure d’un des côtés, les deux autres ayant également des mesures entières.
Le triangle de côtés 3, 4 et 5 étant rectangle, et 2000 étant multiple de 4 comme de 5, il y a au moins deux solutions :
le triangle de côtés 1200 , 1600 et 2000.
le triangle de côtés 1500 , 2000 et 2500.
Utilisé deux fois, le théorème de Pythagore démontre que la somme des carrés des trois côtés d’un parallélépipède rectangle égale le carré de sa diagonale.
Ainsi, la " boîte " de côtés … 720, 960 et 1600 a pour diagonale 2000.
Nous invitons le lecteur à rechercher parmi toutes les " boîtes " à côtés entiers, de diagonale 2000, de volume non nul, lesquelles ont respectivement le plus petit - ou le plus grand - volume.
Bien des nombres entiers sont somme de trois carrés ; c’est - pensons-nous - le cas d’environ cinq nombres sur six ; ainsi, par exemple,
17 = 4^2 + 1^2 + 0^2
36 = 6^2 + 0^2 + 0^2
129 = 10^2 + 5^2 + 2^2
mais,
7 ; 15 ; 23 ; 28 ; 31 ; … ; 607 ; … ; 911 ; … ; 1511 ; … ; 1951 ; … ; 1999 ne sont pas somme de trois carrés ; ils sont seulement - comme tous les entiers - somme de quatre carrés.
2000, lui, est somme de deux carrés :
2000 = 20^2 + 40^2
donc de trois :
2000 = 0^2 + 20^2 + 40^2
L’énième nombre triangulaire étant T(n) = 1 + 2 + 3 + …. + (n-2) + (n-1) + n , c’est à dire la somme des n premiers entiers non nuls, on a
T(n) = n . (n+1) / 2
Ainsi
T(1) = 1 x 2 / 2 = 1
T(35) = 35 x 36 / 2 = 630
T(36) = 36 x 37 / 2 = 666
T(37) = 37 x 38 / 2 = 703
et l’on peut voir que
2000 = T(1) + T(35) + T(36) + T (37)
2000 est donc la somme de quatre nombres triangulaires (dont trois successifs).
On a 2000 = 1997 + 3 ou encore 2000 = 1009 + 991
Donc 2000 peut s’écrire de diverses manières (combien ? ) comme somme de deux nombres premiers.
Chacun de ces chiffres étant écrit une fois et une seule, on a
avec 0 , 1 , 2 , 3 on a l’égalité 2000 = 2 x 10^3
avec 2 , 3 , 4 , 5 on a l’égalité 2000 = 2^4 x 5^3
Les expressions algébriques suivantes, qui sont des palindromes (lecture caractère par caractère possible indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche), ont pour valeur 2000.
1 + 666 + 666 + 666 + 1
999 + 2 + 999
de même que
1 + 1 + 1 + …+ 1 + … + 1 + 1 + 1
(à condition d’écrire 2000 fois le chiffre 1)
On peut également montrer qu’après 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … ; 9 ; 11 ; 22 ; … ; 99 ; 101 ; … il y a évidemment une infinité d’autres nombres palindromes et que, curieusement, le deux millième est le nombre 1000001. (C’est Emmanuel, jeune fils de l’auteur, adepte des jeux mathématiques, qui lui a soufflé ce résultat l’an passé.)
On peut noter aussi que 2000 est un palindrome généralisé puisque 2000 = 0002000
Remarquons également que 2000 s’écrit :
MM en chiffres romains ;
11 en base 1999 ;
22 en base 999 ;
44 en base 499 ;
55 en base 399 ;
88 en base 249 ;
AA en base 199 (A représentant alors le chiffre 10) ;
GG en base 124 (G représentant alors le chiffre 16) ;
KK en base 99 (K représentant alors le chiffre 20) ;
Soit la suite de premier terme 2, de suivant 14 soit (2+12), de troisième terme 38 (soit 14 + 2 x 12), de quatrième 74 (soit 38 + 3 x 12), de cinquième 122 (soit 74 + 4 x 12)…
Ses termes successifs sont :
2 ; 14 ; 38 ; 74 ; 122 ; 182 ; 254 ; 338 ; 434 ; 542 …
et la somme des dix premiers, écrits ci-dessus, est agacement 2000.
En fait, cette suite s’obtient en doublant la suivante :
1 ; 7 ; 19 ; 37 ; 61 ; 91 ; 127 ; 169 ; 217 ; 271 …
dont les termes successifs sont les nombres hexagonaux ; on vérifie que la somme des n premiers est le cube de n ; ainsi, la somme des dix premiers est 10 x 10 x 10 = 1000.
1000 est par conséquent le nombre de boîtes cylindriques d’une pyramide à base hexagonale de dix étages, et 2000 boîtes permettent de construire exactement deux telles pyramides.
Un prochain article illustrera ces pyramides de boîtes ou de boules.
Nous terminons cet article par un extrait d’un devoir donné par l’auteur et son épouse à leurs étudiants de Techniques de Commercialisation de l’I.U.T. de Laval le 6 janvier 2000.
Bien que conséquent, le budget réceptions de l’ambassadeur n’est cependant pas illimité ; c’est pourquoi, après avoir défini ses besoins pour la cérémonie des voeux prévue le 6 janvier 2000, il veille à s’approvisionner aux moindres frais. Pour des raisons inhérentes à la pratique des marchés publics, l’ambassadeur ne peut s’adresser qu’à deux fournisseurs dûment accrédités, Fauchard et Hédion.
Les besoins de l’ambassadeur sont de 2000 articles :
- 650 marrons glacés (afin de constituer une pyramide à base carrée de 12 étages) ;
- 1320 rochers de chocolat (qui seront rangés en pyramides à base triangulaire : une grande de 18 étages, une moyenne de 8 étages et trois petites de 4 étages) ;
- 30 bouteilles de champagne.
Fauchard propose des lots Fiesta ; un lot Fiesta est constitué de 41 marrons, 50 rochers et 1 bouteille de champagne et coûte 225 F.
Hédion propose des lots Nouba ; un lot Nouba se compose de 14 marrons, 40 rochers et 2 bouteilles de champagne et vaut 270 F.
Le but de ce problème est de déterminer le nombre x de lots Fiesta et le nombre y de lots Nouba que l’ambassadeur doit acheter pour que la dépense soit minimale.
(on montrera que l’un des produits se trouvera en trop grande quantité, et que l’on peut réaliser avec les articles en trop deux pyramides à base carrée, l’une de six étages, l’autre de neuf). * * *
Et, encore une fois, bonne et heureuse année 2000 !
(au fait, 2000 ! , c’est à dire factorielle de 2000, se termine par combien de zéros ?)