Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
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Bonne et heureuse année 1999 !
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
1999 et le petit Fermat
Quatre-vingt-dix-neuvième année du vingtième siècle, 1999 nous rapproche encore du troisième millénaire ; tous les chiffres de l’année changeront lorsque nous passerons en l’an 2000 ; cependant, 1999 n’est pas la dernière année (du siècle), mais sera tout de même l’année dernière durant les 366 jours de 2000…
Notre propos n’est pas de polémiquer sur cette qualité de dernière année et nous préférons remarquer que 1999 est une année première…
En effet, 1999 est un nombre premier ; cela signifie que, tout comme 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31… et bien d’autres, il a exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
Une suite de Fibonacci étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du troisième, est la somme des deux termes le précédant, plusieurs suites de Fibonacci contiennent le nombre 1999 ; par exemple celle commençant par 11 et 52 :
Ses termes successifs (jusqu’à 1999) sont :
11 ; 52 ; 63 ; 115 ; 178 ; 293 ; 471 ; 764 ; 1235 ; 1999
Il y en a dix ; on dira que cette suite est de longueur 10.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Fibonacci contenant 1999 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Tribonano étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du quatrième, est la somme des trois termes le précédant, plusieurs suites de Tribonano contiennent le nombre 1999 ; par exemple celle commençant par 1, 7 et 7 :
Ses termes successifs (jusqu’à 1999) sont :
1 ; 7 ; 7 ; 15 ; 29 ; 51 ; 95 ; 175 ; 321 ; 591 ; 1087 ; 1999
Il y en a douze ; on dira que cette suite est de longueur 12.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Tribonano contenant 1999 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Quadrari étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du cinquième, est la somme des quatre termes le précédant, plusieurs suites de Quadrari contiennent le nombre 1999 ; par exemple celle commençant par 1, 3, 5 et 11 :
Ses termes successifs (jusqu’à 1999) sont :
1 ; 3 ; 5 ; 11 ; 20 ; 39 ; 75 ; 145 ; 279 ; 538 ; 1037 ; 1999
Il y en a douze ; on dira que cette suite est de longueur 12.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Quadrari contenant 1999 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Quintina étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du sixième, est la somme des cinq termes le précédant, plusieurs suites de Quintina contiennent le nombre 1999 ; par exemple celle commençant par 2, 2, 5, 9 et 17 :
Ses termes successifs (jusqu’à 1999) sont :
2 ; 2 ; 5 ; 9 ; 17 ; 35 ; 68 ; 134 ; 263 ; 517 ; 1017 ; 1999
Il y en a douze ; on dira que cette suite est de longueur 12.
Le lecteur est invité à rechercher des suites de Quintina contenant 1999 aussi longues, voire plus longues.
Une suite de Sexagogo étant une suite croissante de nombres positifs dont chaque terme, à partir du septième, est la somme des six termes le précédant, plusieurs suites de Sexagogo contiennent le nombre 1999 ; par exemple celle commençant par 1, 1, 1, 2, x et y :
Ses termes successifs (jusqu’à 1999) sont :
1 ; 1 ; 1 ; 2 ; x ; y ; 5 + x + y ; ……….. ; 1999
Le lecteur est invité à rechercher x et y de telle sorte que cette suite soit la plus longue possible.
Chacun sait, depuis que Pythagore l’en a convaincu, que la somme des carrés des deux petits côtés d’un triangle rectangle est égale au carré de son grand côté (l’hypoténuse).
Cherchons alors un triangle rectangle dont 1999 serait la mesure d’un des côtés, les deux autres ayant également des mesures entières.
Une première idée est de souhaiter 1999 pour hypoténuse ; on vérifie alors assez vite que 1999^2 n’est pas la somme de deux carrés non nuls ; il n’y a donc pas de solution.
On en vient à chercher alors un triangle rectangle de petits côtés a et 1999 et de grand côté b ; le lecteur vérifiera qu’alors , nécessairement :
on a ………….. b - a = 1
et …………… b + a = 3996001
d’où ………….. a = 1998000 … et … b = 1998001
Il existe donc un et un seul triangle rectangle dont 1999 est un côté : ses trois côtés ont, du plus grand au plus petit, les mesures suivantes : 1998001 ; 1998000 ; 1999.
Pythagore -encore lui- nous montre que la somme des carrés des trois côtés d’un parallélépipède rectangle égale le carré de sa diagonale.
Ainsi, les « boîtes » de côtés … 309, 702 et 1846 ; ou … 891, 1206 et 1322 ; ou encore … 1050, 1126 et 1275 ; et bien d’autres ont pour diagonale 1999.
Nous invitons le lecteur à rechercher parmi toutes les « boîtes » à côtés entiers, de diagonale 1999, de volume non nul, lesquelles ont respectivement le plus petit -ou le plus grand- volume.
Bien des nombres entiers sont somme de trois carrés ; c’est -pensons nous- le cas d’environ cinq nombres sur six ; ainsi, par exemple,
17 = 4^2 + 1^2 + 0^2
36 = 6^2 + 0^2 + 0^2
129 = 10^2 + 5^2 + 2^2
mais,
7 ; 15 ; 23 ; 28 ; 31 ; … ; 607 ; … ; 911 ; … ; 1511 ; … ; 1951 ; … ; 1999 ne sont pas somme de trois carrés ; ils sont seulement -comme tous les entiers- somme de quatre carrés.
1999 est le 332ème nombre entier qui n’est pas somme de trois carrés, mais de quatre.
On a
1999 = 1^2 + 3^2 + 30^2 + 33^2
ou
1999 = 13^2 + 23^2 + 25^2 + 26^2
ou encore
1999 = 21^2 + 21^2 + 21^2 + 26^2
ou … etc…
Nous suggérons au lecteur de rechercher le nombre de possibilités différentes.
Le énième nombre triangulaire étant T(n) = 1 + 2 + 3 + …. + (n-2) + (n-1) + n , c’est à dire la somme des n premiers entiers non nuls, on a
T(n) = n . (n+1) / 2
Ainsi
T(35) = 35 x 36 / 2 = 630
T(36) = 36 x 37 / 2 = 666
T(37) = 37 x 38 / 2 = 703
et l’on peut voir que
1999 = T(35) + T(36) + T (37)
1999 est donc la somme de trois nombres triangulaires successifs.
On peut obtenir le nombre 1999 à l’aide d’une opération simple faisant appel aux chiffres 1, 2, 3, 4, 5 et seulement à ces chiffres, chacun étant utilisé exactement une fois.
Mais, pour permettre au lecteur d’exercer sa sagacité, nous repoussons à plus loin la solution.
Les expressions algébriques suivantes, qui sont des palindromes (lecture caractère par caractère possible indifféremment de gauche à droite ou de droite à gauche), ont pour valeur 1999.
149 + 2341 - 1432 + 941
999 + 1 + 999
37 x 12 + 22 + 21 x 73
de même que
1 + 1 + 1 + …+ 1 + … + 1 + 1 + 1
(à condition d’écrire 1999 fois le chiffre 1)
On peut également montrer qu’après 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; … ; 9 ; 11 ; 22 ; … ; 99 ; 101 ; … il y a évidemment une infinité d’autres nombres palindromes et que, curieusement, le mille- neuf-cent-quatrevingt-dix-neuvième est le nombre 999999. (C’est Emmanuel, jeune fils de l’auteur, adepte des jeux mathématiques, qui lui a soufflé ce résultat.)
On peut également rechercher des nombres palindromes multiples de 1999.
Le plus petit semble être 1337331 qui vaut 669 x 1999 ; mais il y a aussi
3332333 qui égale 1667 x 1999
4669664 qui égale 2336 x 1999
6664666 qui égale 3334 x 1999
9996999 qui égale 5001 x 1999
et
36655663 ; 336565633 ; 3335665333 ; 33326662333 ; 333236632333 ; 3332336332333
qui ont, tous les six, quarante pour somme de tous leurs chiffres.
La manière dont s’écrivent les quelques palindromes précédents (ils utilisent peu de chiffres différents) nous conduit à rechercher un palindrome multiple de 1999 qui ne s’écrirait qu’avec un seul et même chiffre répété plusieurs fois.
C’est là que Pierre de Fermat vient à notre aide ; rappelons en effet son petit théorème :
Pour tout nombre premier p, et tout entier a, le nombre a^p est congru à a modulo p.
La notation a^p signifie a puissance p, c’est à dire a x a x a x …x a (p fois).
a^p congru à a modulo p signifie que a^p - a est un multiple de p.
ainsi, prenant a = 10 et p = 1999, on obtient le résultat suivant :
10^1999 - 10 est divisible par 1999
et, puisque 1999 n’est divisible ni par 2 ni par 5,
10^1998 - 1 est divisible par 1999
autrement dit, le nombre 99999… 99999 (le chiffre 9 étant écrit 1998 fois) est un multiple de 1999 ;
bien sûr, il en est donc de même du nombre 11111…11111 (avec 1998 fois le chiffre 1).
En fait, on peut montrer que 111…111, avec seulement 999 fois le chiffre 1, est un multiple de 1999 ;
on en déduit que le nombre suivant, palindrome de 1999 chiffres (dont un 0 et mille neuf cent quatre-vingt-dix-huit 1), est un multiple de 1999 :
111…1110111…111
mais aussi
122…2222222…221
et quelques autres.
Sans doute les lecteurs arrivés ici l’ont-ils déjà montré ! Nous l’écrivons tout de même :
1999 = 2^4 x 5^3 - 1
Et, encore une fois, bonne et heureuse année 1999 !
(au fait, 1999 ! , c’est à dire factorielle de 1999, se termine par combien de zéros ?)
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4 janvier 1999
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