Jeux Mathématiques et Logiques
service maintenu par Gilles HAINRY, agrégé de mathématiques,
Université du Maine
I.U.T. Techniques de Commercialisation
53000 LAVAL
(France)
email : gilles.hainry_at_univ-lemans.fr
Bonne et heureuse année 1998 !
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© Gilles HAINRY, Université du Maine
On rappelle que :
Un palindrome est une phrase, un nombre, un message, qui, si l’on ne tient compte ni des espaces ou apostrophes, ni des signes de ponctuation, peut être lu de droite à gauche ou de gauche à droite en gardant le même sens ou plutôt la même signification.
1998, contrairement à 1991, ou à 2002, n’est donc pas un palindrome ; pourtant, on peut l’écrire sous de nombreuses formes " palindromatiques ", comme le montrent les exemples suivants :
1998 c’est
666 + 666 + 666 (avec neuf 6)
ce qui montre, 666 étant le nombre du diable (voir article 37 et le nombre du diable), que 1998 est triplement diabolique.
C’est aussi
999 + 999 (avec six 9)
ou
3 * 222 * 3 (avec des multiplications)
ou encore
3001 - 1003 (avec un signe de soustraction)
voire
67 + 53 * 35 + 76 (avec additions et multiplication)
ou
234 + 567 + 765 + 432 (en utilisant deux fois chacun six chiffres consécutifs)
et bien d’autres encore, répondant à diverses contraintes.
Une suite de Fibonacci est une suite croissante de nombres entiers positifs dont chacun, à partir du troisième, égale la somme des deux nombres qui le précèdent (exemple : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; …)
On trouve 1998 en particulier dans la suite de Fibonacci commençant par 7 et 32 ; cette suite est en effet composée des nombres :
7 ; 32 ; 39 ; 71 ; 110 ; 181 ; 291 ; 472 ; 763 ; 1235 ; 1998 ; 3233 ; …
Le lecteur est invité à chercher d’autres exemples de suites de Fibonacci contenant 1998 ; il tentera en particulier de trouver celle(s) dont le troisième terme est minimum.
Une suite de Tribonano est une suite croissante de nombres entiers positifs dont chacun, à partir du quatrième, égale la somme des trois nombres qui le précèdent (exemple : 1 ; 1 ; 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 ; 31 ; …)
La suite de Tribonano commençant par 53 , 72 et 419 contient 1998 ; rappelons que 53 est le numéro de la Mayenne, et 72 celui de la Sarthe, ces deux départements français formant le Maine dont l’Université héberge ces pages !
Cette suite est :
53 ; 72 ; 419 ; 544 ; 1035 ; 1998 ; 3577 ; 6610 ; 12185 ; 22372 ; 41167 ; …
Le lecteur est invité à chercher d’autres exemples de suites de Tribonano contenant 1998 ; il tentera en particulier de trouver celle(s) dont le troisième terme est minimum, puis celle(s) dont le quatrième terme est minimum.
On appelle retourné d’un mot, d’une phrase ou d’un nombre, le mot, la phrase ou le nombre obtenu en écrivant l’objet de départ à l’envers.
Par exemple, le retourné de PARIS est SIRAP ; celui de 254 est 452.
Un palindrome égale son retourné.
Le retourné de 1998 est 8991.
Si l’on calcule le quotient de 8991 par 1998, on obtient 4,5 , soit un nombre décimal simple ; ce n’est pas si fréquent !
Mais, plus curieux encore, on a :
8991 / 1998 = 891 / 198 = 81 / 18 ; étonnantes fractions palindromes dans lesquels on peut ‘simplifier’ en effaçant un (ou deux) 9 aux numérateur et dénominateur ! (on se gardera de généraliser ce type de ‘simplification’ qui le plus souvent s’avérerait abusive)
Le lecteur est invité à vérifier que si un nombre de quatre chiffres s’écrit ABBC, on a l’égalité suivante :
ABBC / CBBA = AC / CA
lorsque A + C = B
Revenons à 1998 pour constater que le palindrome 1998 + 8991 égale 10989 et que :
10989 vaut aussi 3 * 1221 * 3 (un palindrome)
Quant au retourné de 10989, c’est 98901 et :
98901 vaut aussi 9 * 1221 * 9 (un palindrome) .
Conséquence de ce qui précède : 98901 / 10989 = 9 ce qui est fort simple.
D’autre part, 8991 = 9 * 999 (que des neuf)
ou 3 * 999 * 3 ou encore 9 * 111 * 9 (deux palindromes !)
Si l’on en croit le serveur ‘Am I in Pi’ disponible au moment où ces lignes sont écrites à l’adresse ci-dessous :
http://www.facade.com/Fun/amiinpi/
on trouve 1997 dans PI à partir du rang 30172 ;
on trouve 1998 dans PI à partir du rang 29889 ;
on trouve 1999 dans PI à partir du rang 11197 ;
on trouve 2000 dans PI à partir du rang 601 ;
Ainsi, 3 étant le premier chiffre significatif de PI, 1 le second, 4 le troisième, 1998 apparaît (pour la première fois) aux rangs 29889, 29890, 29891 et 29892 (entre un 4 et un 9)
Le plus étonnant ici est que 29889 n’est pas tout à fait ordinaire, puisque, alors que 1998 est divisible par 3^3 (ou 27) , lui, 29889, est ‘carrément’ divisible par (3^3)^2 (ou 27^2 ; c’est à dire 729) .
D’autre part, 98892, le retourné de 29889 a de nombreux diviseurs communs avec lui dont 9 bien sûr, mais aussi 41….
Si l’on considère les douze anagrammes de 1998, c’est à dire les nombres :
1899 ; 1989 ; 1998 ; 8199 ; 8919 ; 8991 ; 9189 ; 9198 ; 9819 ; 9891 ; 9918 ; 9981
tous étant formés des mêmes chiffres ont des chiffres dont la somme est 27 ; ils sont donc tous divisibles par 9 ; mais deux d’entre eux sont divisibles par 27 : et ce sont précisément 1998 et son retourné 8991.
Considérons les quotients par 9 des douze nombres ci-dessus, c’est à dire les nombres :
211 ; 221 ; 222 ; 911 ; 991 ; 999 ; 1021 ; 1022 ; 1091 ; 1099 ; 1102 ; 1109
Six sont premiers (211 ; 911 ; 991 ; 1021 ; 1091 ; 1109), soit cinquante pour cent.
Trois sont pairs et évidemment non premiers ; si bien que les deux tiers des quotients par 9 des anagrammes impairs de 1998 sont premiers.
En définitive, on trouve que six sur huit des quotients par 9 des anagrammes impairs de 1998 différents de son retourné sont premiers, soit une proportion de trois quarts.
Ceci montre combien 1998 est un nombre diabolique : il ne doit guère y avoir plus de 30 % de nombres premiers parmi les nombres impairs compris entre 200 et 1200.
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18 janvier 1998
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